日刊　学習アドバイザー！　【Ｚ会中学コース】

こんにちは。学習アドバイザーのカズです。11月に入り、ずいぶんと肌寒くなってきました。受験生のみなさんは、風邪をひかないように十分に注意をして過ごしてくださいね。

　さて、きょうは立川高校の入試問題について見ていこうと思います。大問４題の構成ですが、ところどころに難しい問題もあり、油断できない内容です。また、知らなければ解けないだろうという問題も含まれていますので、やはり入試の標準問題に数多く触れる、他校の独自入試を練習しておくことが一番の対策になるかと思います。そして、とてつもなく難しい問題は除き、ある程度パターン化されている問題（今回でいうと、大問２〔３〕の折れ線の最小値など）は、単に解けるというだけでなく、考え方を整理したノートを自分で作っておくことをすすめます。数学の勉強というと、数多くの問題を解いて終わりの印象が強いですが、入試を前にしてそのような内容を整理しておくと受験会場でのお守りにもなりますし、何より試験場でスムーズに解法を思い浮かべることができます。

　よさそうじゃん！　と思った人はぜひ自分だけの解法整理ノートを今日から用意しましょう。今日から強化、用意・ドン！　やる気と行動が大切です。

大問１〔６〕
　大問１のなかにある問題ですのでやさしいだろうと思いがちですが、ところがどっこい、今年の立川高校の問題のなかで一番難しい問題かもしれません。したがって、少し考えて解法が思い浮かばない場合には、見切りをつけて次の問題に進むのがよいでしょう。
　円の問題で、すぐに解法が浮かばない場合には、まずやってほしいことは円の中心はどこかを明らかにすることです。すると、折り返すことで出てくる円は２つありますので、中心は２つあります。そして、もう一つは、
「部分で考えず、全体で考える」
これはお医者さんがよくやる考え方ですね。例えば、風邪をひいたとしましょう。普通はのどや鼻を診察しますが、お腹を見ることもありますよね。この問題も同じ。問題文で与えられた図だけ見ていても解法は浮かびません。それぞれの円の中心を明らかにするだけでなく、全体の円を書き足して考えてみましょう。
　そして、もう一つの定石は「主要な点と円の中心を結んでみる」です。本問の場合には、折り返した円の中心をＩとして点Ｃと結んでみます。この円はＡＢに接しているわけですから、ＡＢとＩＣは垂直です。２つの円は半径が等しい円であり、直線ＰＱに関して対称な位置にあります（これも全体の図をかいて初めてわかることです）。したがって、点Ｉは、点Ｃを通りＡＢに垂直な直線上にあり、ＯＡ＝ＣＩとなるようにとればよいわけです。この２つの条件を満たす点Ｉを作図できれば、線分ＰＱは線分ＯＩの垂直二等分線上にあるので答えの作図を完成することができます。

　この問題を通して
「部分で考えず、全体で考える」
「主要な点と円の中心を結んでみる」
この２つの考え方を身につけることができました。ぜひ、整理ノートにまとめておきましょう。

大問２〔３〕
　これは入試によく出てくる頻出の考え方ですので、ぜひ身につけてもらいたい考え方です。その一方で入試問題を通じて類題を解いたことがなければ、まず試験時間のなかで解法を思いつくのは無理でしょう。経験したことがあるかどうか、が重要なポイントになります。見たことがないと思ったら、きちんと整理ノートに解法をまとめておきましょう。
「折れ線の長さの和の最小値は、対称な点を考えることで解決する」
この問題でいうと、点Ａの直線ｎに関する対称点をＣとします。すると、点ＰがどこにあってもＡＰ＝ＣＰとなりますから
ＡＰ＋ＰＴ＝ＣＰ＋ＰＴ
点Ｃから出発して、直線ｎを越えて点Ｔに着くときの最小値を求めなさい、というのですから、２点Ｃ，Ｔを直線で結んだときにできる道筋が最短になります。これは本当によく出てくる考え方ですので、初めて知ったという人は自分の力で解けるまで繰り返してもらいたいです。立川高校を目指す受験生であれば、当然、知っている知識として扱われます。

大問３〔２〕
　この問題は、５：12：13の辺の比の三角形が直角三角形であることを知っているいると見通しが明るいでしょう。３：４：５の三角形と合わせて覚えておいてください。
　△ＤＡＰに注目すると直角三角形になっており、ＡＤ＝５、ＡＰ＝13ですから、ＤＰ＝12です。もちろん、知らなくても三平方の定理を使えば求めることができます。すると、ＣＰ＝７がわかるので、△ＡＢＱと△ＰＣＱの相似からＢＱ：ＱＣ＝５：７を求めることができます。求める面積は、△ＣＢＰの面積の７／12で計算することができます。

大問４〔３〕
　線分ＡＢ上に、ｘ座標とｙ座標がともに自然数である点があるかないかを考える問題でした。このような点は、格子点と呼びます。関数のグラフの整数への応用問題としてよく出てくる題材です。ここでは、線分ＡＢの端点を除く部分に格子点のある確率を求める問題でした。これは言い換えると、点Ａのｘ座標と点Ｂのｙ座標が互いに素でない確率となります。このように、「この問題は言い換えると、つまりこういうことだ！」こういった要約力を試す問題にもなっています。グラフや図の問題を、数値の問題に置き換えて解く。つねにそういった問題ばかりが出題されるわけではありませんが、そういった発想の転換もできるようにしておきましょう。出題者は、まさにそういった柔軟な思考を試したいと思って問題を作っていると思います。

　これで都立の独自入試も11校目をコメントしてきました。来週は武蔵、再来週は国分寺を解いてみましょう。この13校を解き切るだけでも、だいぶ力は付くはずです。がんばれ、受験生。Ｚ会は、最後まで応援するぞ！

• Posted at 19:22
• 【数学】都立県立自校作成入試解説
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