戸山高校の入試問題（数学）

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[2008年09月05日(金) ]

　こんにちは。学習アドバイザーのカズです。今回は、都立の難関校である戸山高校の昨年度の入試問題について見ていきます。全体的に難易度が高く、それなりに時間はかかるため、他校に比べてより綿密な戦略が必要でしょう。戦略とは、解く問題に優先順位をつけて得点が最大になるための時間配分、解く順番を考えて取り組むことです。おそらく50分では、いかにできる受験生でも全部をパーフェクトに解き切ることは無理でしょう。実力はあっても時間制限があるために、まず無理と思って差し支えありません。

きょうは、印象に残った４題についてコメントします。

１番〔問４〕
　小問集合のなかの１問ですので、解いたことのある人であれば問題なく解けたことでしょう。しかし、整数の問題は学校ではやらないと思いますので、過去問で解いたことがある、または塾や通信教育などの校外学習で出題されたことがなければ、手がつかない問題といえます。したがって、その意味でも過去問演習は十分に取り組んでおくべきでしょう。
〔問５〕
　円の中心が与えられていないので、円の中心を求めてから点Ｐと結び、点Ｐを通る垂線をひけばよいことはわかるでしょう。したがって、試験でこの問題を解くときにはその方針に沿って作図をしてください。変にきれいな解法を考えようとすると、後の問題を解く時間がなくなります。
　ここでは、試験ではオススメしないけれども、もっとも手間を省く書き方を紹介しておきます。過去問題を解くときの参考にしてください。
　
　点Ｐを通り、与えられた円と２点が交わるような円をかきます。２つの交点をＡ，Ｂとします。これから線分ＡＢ、ＡＰがとなり合う辺になる平行四辺形をかくことを考えます。
点Ａを中心にし、先ほどの長さで弧をえがきます。また、点Ｐを中心とし、線分ＡＢの長さの半径をもつ弧をえがきます。この２つの交点をＣとします。
　２点Ｐ，Ｃを結んだ直線が条件をみたす直線になります。

　この方法だと４回の操作で作図することができ、最短の作図になります。この問題を解いた人には、ぜひ確認しておいてもらいたい解法です。

３番〔問２〕
　△ＦＢＥの面積は、△ＡＢＣの面積の１／２ですが、直接比べるのは難しいですから、間に△ＡＢＥを入れて考えてみましょう。△ＡＢＥの面積は、△ＡＢＣの面積の２／３ですから、これを利用して△ＦＢＥの面積は△ＡＢＥの面積のどれだけかを考えるといいですね。
　後半は、△ＰＤＥと△ＰＧＦが相似になりますので、そのことからＤＰ：ＰＧを求めます。そうすると、とくに補助線を必要とせずに解くことができます。

４番〔問３〕
　立体をどう見るかの目のつけどころを問われる問題です。問題を読むとゲロゲロっと思ってしまいますが、底面を△ＯＱＥとみて三角すいＣ－ＯＡＥとの比較で考えると考えやすいでしょう。そうすると、ＯＱの長さはＯＡの長さの１／３ですので、△ＯＱＥの面積は△ＯＡＥの面積の１／３であり、三角すいＣ－ＯＱＥの体積は三角すいＣ－ＯＡＥの体積の１／３であることがわかります。このように図形を見ることができるかどうかができたかどうかの分かれ目になったような気がします。

　こうしてみると、十分に難しいセットだという気が改めてしてきました。今年度はきっともう少しやさしくなるのではないでしょうか。いや、やさしくなってほしいですね。